Nebeská mechanika

I přesto, že byly Newtonovy pohybové zákony vyškrtnuty ze školních osnov základních škol (nebo mají být v blízké době), v přírodě platí stále. Tedy alespoň ve speciálních případech, na které ale v běžném životě narážíme často. Výjimkou nejsou ani nebeská tělesa jako planety a hvězdy. K jejich simulaci nám stačí právě Newtonovy pohybové zákony a Newtonův gravitační zákon. Pojďme si je připomenout.

První Newtonův pohybový zákon (Zákon setrvačnosti) říká, že inerciální systém (vztažná soustava) je takový, ve kterém tělesa setrvávají v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na ně nepůsobí žádná vnější síla (nebo je vektorový součet vnějších sil nulový).

Druhý Newtonův pohybový zákon (Zákon síly) říká, že pokud na těleso působí síla (resp. vektorový součet vnějších sil je nenulový), pak se pohybuje se zrychlením, dle vztahu $$\vec{F}=m\vec{a},$$ kde \(m\) je hmotnost tělesa a \(\vec{a}\) je zrychlení. Tento vztah zanedbává časovou změnu hmotnosti, ale to nás v tuto chvíli příliš netrápí.

Třetí Newtonův pohybový zákon (Zákon akce a reakce) říká, že působí-li těleso silou na druhé, pak druhé těloso působí na to první stejně velkou silou, ale opačného směru. Tedy pokud vedle sebe postavíme dvě planety, tak se budou pohybovat vlivem gravitace obě dvě.

Ještě tu máme Newtonův gravitační zákon. Ten popisuje gravitační působení dvou těles mezi sebou a vypadá následovně: $$\vec{F}_{12}=G \frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{r}^0,$$ kde \(\vec{F}_{12}\) je síla, kterou těleso 1 působí na těleso 2, \(G\) je gravitační konstanta, \(m_1\) a \(m_2\) jsou hmotnosti těles, \(\vec{r}^0\) je jednotkový vektor se směrem od tělesa 2 k tělesu 1 a \(r\) je vzdálenost mezi tělesy. Z tohoto vztahu nás nejvíce zajímá, že silové působení klesá s druhou mocninou vzdálenosti, což je poměrně rychlé. Tento vztah se také jentak mimochodem velmi podobá Coulombovu zákonu v elektrostatice.

Nyní, když jsme vyzbrojeni znalostí potřebných zákonů, je čas je aplikovat v praxi. Program nedělá nic jiného, než že pro každý časový okamžik a každé těleso spočítá ze silového působení ostatních těles nový vektor rychlosti a z něj polohový vektor. K tomu se přidá nějaký ten kód na grafiku a pěkné pozadí a je hotovo.

V první ukázce obíhá Měsíc kolem Země. Jelikož zanedbáváme spoustu vlivů (například působení jiných těles), není jeho oběžná dráha přesně taková, jako ve skutečnosti. Ukázku najdete na tomto odkazu.

Ve druhé ukázce je pohled oddálen na Slunce. Jelikož jsou Země a Měsíc proti Slunci rozměrově opravdu nepatrné, uvidíte pouze obíhající nápisy. Ukázku najdete na tomto odkazu.

Ve třetí ukázce se míjí jedno těleso s druhým. Těleso 2 se spokojeně pohybuje podle Zákona setrvačnosti, až se přiblíží k tělesu 1, které svým gravitačním působením stočí jeho dráhu. Ukázka je zde.